Z punktu widzenia naukowca wybory można potraktować jako doświadczenie badawcze. Jego celem jest zarówno poznanie opinii wyborców, jak i wybór przedstawicieli społeczeństwa, którzy otrzymają mandat do sprawowania władzy. Rozmaite ordynacje wyborcze różnie ustalają priorytety.

Wyniki wyborów przeprowadzanych według systemu proporcjonalnego dokładniej na ogół odzwierciedlają poglądy wyborców, zaś nadrzędnym celem systemu większościowego jest wyłonienie większości zapewniającej stabilność rządów.

Niewyraźna skala

Pomiar każdej wielkości fizycznej możliwy jest tylko z pewną dokładnością. Zależy ona od poprawności planu doświadczenia, jakości stosowanych przyrządów oraz staranności eksperymentatora. Nie da się na przykład precyzyjnie zmierzyć wymiarów pokoju posługując się rozciągniętą taśmą mierniczą z niewyraźną skalą. Z tym, że samo stosowanie przyrządów wysokiej jakości nie daje jeszcze gwarancji sukcesu.

Pewien luksusowy samochód wyposażono w czujnik temperatury zewnętrznego lusterka. Jego wskazania były jednak regularnie zawyżane. Problem został zauważony i zdiagnozowany: pomiar temperatury systematycznie zakłócało podgrzewanie lusterka. Dzięki małej modyfikacji konstrukcji problem rozwiązano.

Zauważmy - urządzenie pomiarowe było sprawne i dokładne, lecz z powodu niewłaściwego projektu, wyniki były obarczone systematycznym błędem i nie odpowiadały na pytanie o temperaturę otoczenia, stawiane przez użytkownika.

Podobnie wyniki wyborów powszechnych pozwalają odpowiedzieć na pytanie o preferencje obywateli jedynie z pewną dokładnością. Jeżeli w głosowaniu biorą udział miliony wyborców, można założyć, że część z nich przez pomyłkę odda głos niezgodnie z własnymi przekonaniami. Mimo staranności komisji wyborczych może się też zdarzyć, że jakiś głos nie zostanie poprawnie zaliczony kandydatowi, na którego został oddany.

W przypadku rzetelnie przeprowadzonych wyborów takie pomyłki zdarzają się rzadko. Można je wtedy traktować jako niewielkie fluktuacje statystyczne, które na ogół nie wpływają na rezultat wyborów.

Podejrzane okręgi

W ostatnich dwóch dekadach na świecie rozwinęły się zaawansowane metody matematyczne, które pozwalają stwierdzić, czy wyniki wyborów zawierają istotne nieregularności, których nie da się łatwo wyjaśnić, zakładając, że w procesie wyborczym dochowano należytej staranności. Takie badania prowadzi się rutynowo bądź okazjonalnie w krajach o długich tradycjach demokratycznych (Niemcy, Stany Zjednoczone, Szwajcaria, Wielka Brytania). Zajmuje się nimi, między innymi, centrum badań wyborczych założone kilkanaście lat temu przez dwie czołowe uczelnie techniczne świata - Massachusetts Institute of Technology (MIT) i California Institute of Technology (Caltech).

Niektóre z tych metod polegają na wykrywaniu niespodziewanych korelacji pomiędzy zmiennymi, które w przypadku prawidłowo przeprowadzonych wyborów skorelowane być nie powinny, czy też dziwnych nieregularności w rozkładach odsetka głosów oddanych na poszczególne partie. W ten sposób odkryto prawdopodobne fałszerstwa w wyborach do rosyjskiej Dumy w roku 2011 i w wyborach prezydenckich przeprowadzonych rok później. Nawet jeżeli badania te nie dostarczają niezbitych dowodów świadczących o oszustwach, pozwalają, jak w zeszłym roku w Wielkiej Brytanii, na identyfikację okręgów, na których w kolejnych wyborach winna skoncentrować się uwaga obserwatorów.

Opóźnienia w podaniu wyników ostatnich wyborów samorządowych w naszym kraju wywołały wzburzenie opinii publicznej. Pojawiły się podejrzenia o ich sfałszowanie. Pomimo, że do końca lutego 2015 roku PKW nie udostępniła pełnych wyników tych wyborów przeprowadziliśmy wstępne badania statystyczne oparte o dane udostępnione przez Krajowe Biuro Wyborcze.

Efekt Mazowsza

Intuicja podpowiada, że gdy przeprowadzamy fizyczny lub socjologiczny eksperyment i zapiszemy wyniki pomiarów w postaci liczb, poszczególne cyfry powinny wystąpić z jednakową częstotliwością. Na przykład, wydawać by się mogło, że gdy spojrzymy na drugie cyfry tych liczb, jedynka powinna pojawić się równie często jak szóstka. Rzeczywiście, byłoby tak, gdybyśmy rejestrowali wyniki rzutów kostką, jednak w przypadku liczb występujących w zeznaniach podatkowych lub protokołach wyborczych obowiązuje inna zasada, nazywana prawem Benforda. Mówi ona, że im mniejsza jest dana cyfra, tym częściej będzie obserwowana. W szczególności dotyczy to cyfr stojących na drugim miejscu w zapisie poszczególnych liczb.

Odchylenia od tej zasady mogą świadczyć o tym, że proces wyborczy nie przebiegał w naturalny sposób, podobnie jak gorączka u pacjenta sygnalizuje chorobę. Analogicznie jednak jak wzrost temperatury ciała nie pozwala na określenie rodzaju schorzenia, tak samo naruszenie prawa Benforda, nie musi koniecznie oznaczać, że wybory zostały sfałszowane, chociaż może stanowić poważną ku temu poszlakę. Z drugiej strony, tak jak z faktu, że temperatura ciała jest prawidłowa, nie możemy wnioskować, że pacjent jest zdrowy, tak i brak odchyleń od prawa Benforda nie musi oznaczać, że wybory przebiegały właściwie, chociaż może dawać taką nadzieję.

W przypadku wyborów samorządowych z roku 2014 zbadaliśmy rozkład występowania cyfr w wynikach wyborczych poszczególnych partii oraz liczbach głosów nieważnych na poziomie obwodów i nie zaobserwowaliśmy dużych odchyleń od tego prawa na poziomie całego kraju (rys. 3).

Analizowaliśmy także korelacje pomiędzy frekwencja wyborczą, odsetkiem głosów nieważnych oraz wynikami poszczególnych partii. Nasze badania nie wykazały oczywistych anomalii statystycznych, które dostarczałyby niezbitych argumentów za tezą o masowych oszustwach. Jest jednak kilka interesujących spostrzeżeń.

Badając wyniki wyborów samorządowych z roku 2010 geograf, profesor Przemysław Śleszyński zauważył, że w województwie mazowieckim zanotowano niezwykle wysoki odsetek głosów nieważnych w wyborach do sejmików – chodziło o postawienie więcej niż jednego krzyżyka na karcie do głosowania. Należy podkreślić, że procent ten malał gwałtownie w chwili przekroczenia granic województwa. Mimo, że od opisania tego zjawiska upłynęły cztery lata, Państwowa Komisja Wyborcza nie była w stanie ani zdiagnozować jego przyczyny, ani znaleźć środków zaradczych. Na dodatek, z badań Śleszyńskiego wynikało, że podobne osobliwości pojawiły się już w wyborach samorządowych w latach 2006 i 2002, przy czym w tym ostatnim przypadku dotyczyły większej liczby województw.

Z naszej analizy wynika, że rozkład głosów nieważnych dla woj. mazowieckiego w roku 2010 powtórzył się w skali całego kraju w roku 2014 - patrz Rys. 2. Jest to silna przesłanka świadcząca o tym, że mechanizm odpowiadający za nieprawidłowości w poprzednich latach w jednym lub kilku województwach, zadziałał teraz w całej Polsce.

Niestety, w wyniku wprowadzonych po wyborach z roku 2010 przepisów, zniesiono obowiązek zliczania osobno głosów nieważnych z powodu postawienia więcej niż jednego krzyżyka oraz z powodu oddania niewypełnionej karty wyborczej. Bardzo utrudnia to szczegółową analizę głosów nieważnych oddanych w roku 2014. A było ich w wyborach do sejmików szokująco dużo: 17,9 proc. w skali całego kraju (w opublikowanych właśnie wynikach PKW podała nieco mniejszy odsetek - zmiana po czterech miesiącach, to jeszcze jeden przykład nieprawidłowości procesu) , w tym 20,7 proc. w obwodach wiejskich. W roku 2010 w całym kraju głosów nieważnych było 12 proc, na wsiach 14,7 proc, ale w wiejskich obwodach województwa mazowieckiego już 18,8 proc. (rys. 2).

Jednym z możliwych wytłumaczeń tak wysokiego odsetka głosów nieważnych była konieczność skorzystania przez wyborców z wielostronicowej broszury zamiast pojedynczej karty wyborczej. Taka broszura była użyta w roku 2010 w województwie mazowieckim, a w całym kraju w roku 2014. Wydaje się, że dopóki nie będzie wiadomo, jak wyglądały karty wyborcze w latach 2002 i 2006, i jak w roku 2014 przedstawiał się podział głosów nieważnych na poszczególne kategorie nie da się tej hipotezy w pełni zweryfikować.

Oprócz nienaturalnie wysokiego odsetka głosów nieważnych w wybranych województwach, od lat więcej ich notuje się ogólnie w północno-zachodniej niż w południowo-wschodniej Polsce. Ten fakt wymaga głębszych badań socjologicznych. Analizowaliśmy także wysuwaną niekiedy hipotezę, że duża frekwencja zwiększa odsetek głosów nieważnych: jeżeli wielu głosuje, to wśród nich znajduje się też większy procent mniej doświadczonych wyborców, którzy popełniają błędy. Korelacje takie są jednak bardzo słabe.

Zdezorientowani wyborcy

Analiza danych pozwoliła wychwycić także wyraźne różnice pomiędzy statystycznymi własnościami wyników w wyborach do sejmików wojewódzkich uzyskanych przez PSL oraz PiS i PO, które prawdopodobnie tylko po części da się wytłumaczyć lepszymi wynikami ludowców na wsi, gdzie procent głosów nieważnych był wyższy, niż w mieście (rys. 3).

Rozkłady prawdopodobieństwa wyników dla trzech najsilniejszych partii różnią się znacznie. Co ważniejsze, biorąc pod uwagę wszystkie siedem list ogólnopolskich, jedynie w przypadku PSL istnieje dodatnia korelacja pomiędzy poparciem dla partii, a odsetkiem głosów nieważnych. Jaka może być jeszcze, oprócz zróżnicowania terytorialnego w poparciu, przyczyna takiej zależności?

W wyborach do sejmików wojewódzkich PSL wylosował listę o numerze 1 i dlatego to jego kandydaci figurowali na pierwszej stronie broszury. Wydaje się, że dawało im to przewagę podobną do tej, jaką miałby biegacz startujący na igrzyskach w biegu na 400 metrów z najbardziej wewnętrznego toru nr 1, gdyby nie stosowano odpowiedniego wyrównania, polegającego na właściwym oznaczeniu linii startowych oddzielnie dla każdego zawodnika. Zakładając, że nie było nieprawidłowości w procesie liczenia głosów i wypełniania protokołów, „efekt pierwszej strony" mógł na wynik wyborów wpłynąć dwojako. Zdezorientowani wyborcy innych partii mogli albo częściej niż wyborcy PSL oddawać głos nieważny na skutek postawienia dwóch krzyżyków na różnych stronach broszury, albo też nie do końca świadomie głosować na listę nr 1, nie wertując już dalej książeczki po zaznaczeniu jednego z kandydatów na pierwszej stronie.

W pierwszym przypadku, nieuważny wyborca partii innej niż PSL omyłkowo zaznacza krzyżyk na pierwszej stronie, a następnie na jednej z kolejnych stron broszury stawia drugi i wrzuca nieważny głos do urny. Zyskuje na tym partia wymieniona na pierwszej stronie, gdyż jej wyborcy nie popełnią tego rodzaju błędów, a jej procentowe poparcie zwiększy się na skutek zmniejszenia całkowitej liczby głosów ważnych. Aby zbadać taki scenariusz przeprowadziliśmy symulację opartą o faktyczną liczbę głosów nieważnych, która pozwoliła stwierdzić, że tego rodzaju efekt jest statystycznie istotny, więc partia nr 1 uzyskała więcej głosów, niż otrzymałaby w rzetelnie przeprowadzonych wyborach.

Powyższa analiza nie uwzględnia drugiej z przedstawionych możliwości, gdyż przy modelowaniu „efektu pierwszej strony" trudniej jest ocenić, w jakim stopniu wyborca nieświadomie oddawał głos na listę nr 1, a w jakim było to wynikiem zmiany jego preferencji wyborczych. W obliczeniach nie wzięto też pod uwagę sytuacji, gdy głos z dwoma krzyżykami był uznany za ważny głos na listę nr 1, gdyż drugi krzyżyk postawiony na kolejnych stronach broszury nie został zauważony przez komisję. Być może dlatego w analogicznych badaniach, opartych o porównanie wyników wyborczych partii startującej z nr 1 w dwóch ostatnich wyborach do sejmików i rad powiatów, Jarosław Flis znacznie wyżej oszacował „niezasłużone" zyski ludowców.

System nie działa

Dalsza pogłębiona analiza tych danych z pewnością jest potrzebna, ale jedno nie ulega wątpliwości: „doświadczenie wyborcze" zostało przeprowadzone nieprawidłowo, gdyż zaprojektowano je w sposób, który faworyzował jedną partię i dlatego otrzymane wyniki nie odzwierciedlały preferencji wyborczych istniejących w społeczeństwie.

Jeśli Komisja Wyborcza uzna wybory za przeprowadzone zgodnie z prawem, a sąd odrzuci wszelkie protesty wyborcze, nie oznacza to jeszcze, że system wyborczy działa poprawnie i jest wiarygodny. Zauważmy, że jeżeli w wyborach wzięłoby udział jedynie 20 proc. uprawnionych, którzy oddaliby 50 proc. głosów nieważnych, to takie wybory formalnie mogłyby zostać uznane za zgodne z prawem, lecz z pewnością nie dostarczyłyby rzetelnej informacji o poglądach społeczeństwa, ani też nie pozwoliłyby na wybranie władzy obdarzonej dostatecznym mandatem zaufania.

Można uznać, że wybory samorządowe w roku 2014 w naszym kraju zostały błędnie zaplanowane i źle przeprowadzone.

Co należy zmienić

Matematyczna analiza danych wyborczych uwidacznia błędy i niedociągnięcia popełnione przy organizacji wyborów samorządowych w Polsce. Próbując wyciągnąć naukę z zaistniałej sytuacji postulujemy:

a) Rozważyć zmianę składu Państwowej Komisji Wyborczej, w której poza prawnikami powinno znaleźć się miejsce dla socjologów, statystyków, specjalistów od zarządzania i informatyków.

b) Prowadzić systematyczne badania statystyczne danych dotyczących wyborów minionych, czyli wykonywać elementarną analiza błędów wykonanego „doświadczenia". Nasze wstępne badania bynajmniej nie zamykają problemu, a do wyjaśnienia pozostają przykładowo: nietypowy charakter rozkładu odsetka głosów nieważnych rejestrowanego w poszczególnych obwodach wyborczych oraz zróżnicowanie obserwowanych statystyk w różnych regionach kraju.

c) Na podstawie przeprowadzonych badań lepiej przygotowywać kolejne „doświadczenia wyborcze", aby uniknąć poważnych błędów systematycznych! Problem „pierwszej strony" można rozwiązać na wiele sposobów, na przykład przez wprowadzenie karty do głosowania mieszczącej się na jednej stronie oraz przez odpowiednią edukację wyborców.

d) Dopuścić wstrzymanie się od głosu przez dopisanie odpowiedniego pola na karcie wyborczej. Wydaje się to celowe w sytuacji, gdy zainteresowanie wyborców wyborami do sejmików jest mniejsze niż wyborami wójtów, burmistrzów czy prezydentów.

e) Wielu wyborców ma rozeznanie wśród kandydatów aspirujących do najniższych szczebli władzy oraz rozpoznaje nazwiska osób startujących do Sejmu. Natomiast w wyborach do sejmików wojewódzkich często nie zna kandydatów i kieruje się ogólnymi sympatiami partyjnymi. Dlatego warto rozważyć wprowadzenie mocniejszego ograniczenia liczby kandydatów zgłaszanych przez partie lub wręcz zastosowanie systemu list zamkniętych, używanego w wielu krajach, także wyborach samorządowych. Na karcie do głosowania pojawiałyby się wtedy jedynie nazwy komitetów wyborczych, a ogólnie dostępne listy kandydatów służyłyby jedynie do ustalenia zwycięzców na podstawie wyników wyborów.

f) Wszystkie dokumenty związane z wyborami włącznie z wzorami kart do głosowania w każdym województwie oraz protokołami wszystkich komisji wyborczych, udostępniać w sieci na stronach PKW, co umożliwi prowadzenie badań wszystkim zainteresowanym wyborami.

g) Przechowywać wykorzystane karty wyborcze dłużej niż przez jedną kadencje, a po jej zakończeniu dopuszczać ich analizę w celach badawczych.

h) Ponieważ jakość pracy instytucji wykonującej badania exit polls pełni kluczowa rolę w zapewnieniu wiarygodności systemu wyborczego należy dążyć, aby takie badania były przeprowadzane przez co najmniej dwie konkurencyjne firmy. Wykonawca badań opłacany z pieniędzy podatnika powinien mieć obowiązek rzetelnego przedstawienia wszystkich zebranych danych oraz stosowanej metodologii, bez zasłaniania się tajemnica handlową.

Kazimierz Rzążewski jest profesorem fizyki w Centrum Fizyki Teoretycznej PAN,

Wojciech Słomczyński jest matematykiem, doktorem habilitowanym z Uniwersytetu Jagiellońskiego

Jacek Szklarski jest doktorem nauk technicznych z Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN

Karol Życzkowski jest profesorem fizyki z Uniwersytetu Jagiellońskiego