Urodził się 21 lipca 1951 roku w Chicago w zamożnej rodzinie. Jego ojciec był menedżerem w kompanii Forda, matka - modelką. Z dzieciństwa wyniósł jednak poczucie osamotnienia - rodzice nie mieli dla niego czasu, do szkoły odwoził go kierowca ojca. Jeden z jego przodków Anselm J. McLaurin był gubernatorem Misssissippi i senatorem, Robin też miał zostać politykiem. Podjął nawet studia na wydziale nauk politycznych w Claremont Men'a College, ale przeniósł się na wydział aktorski, najpierw do Marin College, a potem do renomowanej nowojorskiej Juilliard School.
Początki jego kariery to stand-up comedy, kabaret, estrada. Stamtąd młody, błyskotliwy chłopak trafił do telewizji. Rozpoznawalność przyniósł mu na przełomie lat 70. i 80. serial „Mork and Mindy". Zagrał w nim obcego, który przybywa na Ziemię z planety Ork, by obserwować ludzkie stworzenia. Ale Williams nie utknął na małym ekranie. W 1982 roku zagrał swoją pierwszą ważną rolę filmową w „Świecie według Garpa".
Potrafił widzów rozśmieszać. Nie miał żadnych kompleksów, pozwalał sobie na ekranie na błazenadę. W 1997 roku tygodnik „Entertainment Weekly" wybrał go najzabawniejszym człowiekiem na świecie. Williams kochał komedie takie jak choćby „Pani Doubtfire", gdzie wystąpił w kobiecym przebraniu, spielbergowski „Hook", „Dziewięć miesięcy", „Klatka dla ptaków" czy „Patch Adams", gdzie zagrał lekarza, który małym, ciężko chorym pacjentom serwuje nietypowe lekarstwo - śmiech. A w jednej z ostatnich komedii jako samotny, „Najlepszy ojciec świata" zajmował się zwariowanym nastolatkiem.
— Komedia wyzwala w aktorze odwagę — powiedział mi kiedyś — Trzeba zrobić wszystko, co się da, żeby widza rozśmieszyć. Przestajesz wtedy myśleć o tym, że — być może — przy okazji ośmieszasz siebie samego, tracisz hamulce, wyczyniasz rzeczy, których w innym filmie nigdy byś nie zrobił.
Lubił też występować w filmach dla najmłodszych jak „Flubber" czy „Zabaweczki". Mówił, że to okazja, by również własnym dzieciom udowodnić, że ich ojciec może być niezłym kompanem.