Matematyka piękna jak muzyka

Czym zajmuje się fizyk matematyczny?

Fizyk matematyczny to – wbrew nazwie – matematyk, który zajmuje się takimi strukturami matematycznymi, które potencjalnie mogą, choć niekonieczne muszą, mieć zastosowanie w fizyce teoretycznej.

Muzyk czytając nuty słyszy muzykę. Co Pan widzi patrząc na zapis matematyczny?

Podobno matematycy dzielą się na co najmniej dwa typy: tacy, którzy pod powierzchnią symboli „widzą" struktury pod postacią obrazów (w bardzo uogólnionym sensie), i tacy, dla których układ symboli to swego rodzaju maszynka, pełna przekładni i trybików, na której można wykonywać różne operacje. Ja sam zaliczam się chyba bardziej do tej pierwszej grupy. Zapis matematyczny opowiada mi jakąś historię, trochę właśnie jak utwór muzyczny.

Czy fizycy matematyczni łamią schematy?

Czasami powinni to robić jeśli ma następować postęp. Istnieje wizja rozwoju nauki pochodząca od Thomasa Kuhna w myśl której rozwój nauki dzieli się na tzw. okresy normalne i okresy rewolucji. W okresie normalnym, kiedy nauka rozwija się w ramach ustalonego paradygmatu, konstruowanie za każdym razem całej fizyki od nowa jest raczej niewskazane. Z czasem sytuacja dojrzewa jednak na tyle, że paradygmatu nie da się utrzymać. Wtedy rewolucyjne myślenie jest bardzo potrzebne.

W książce Sabine Hossenfelder „Zagubieni w matematyce. Fizyka w pułapce piękna", której jest pan tłumaczem, autorka przytacza pytanie Eugene Wignera: Dlaczego w ogóle możemy opisywać świat matematycznie?

Dlaczego praca fizyka matematycznego w ogóle ma sens? To jest bardzo trudne pytanie i nie ma na nie satysfakcjonującej odpowiedzi. Wciąż aktualny jest ten esej Wignera, w którym on też napisał, że matematyczność przyrody, czy też ta „niesamowita stosowalność matematyki w naukach przyrodniczych" jest cudownym darem, którego nie rozumiemy i na który nie zasługujemy. W jakimś sensie wszechświat gra zgodnie z regułami, które odkrywamy w matematyce. Nie tyle chodzi o to, że matematyka jest możliwa, bo na tej samej zasadzie możliwa jest gra w szachy. Wymyślamy zasady gry, z których okazują się wynikać nietrywialne strategie, bogactwo wyrastające z prostoty. W matematyce jest podobnie. Niesamowite jest dopiero to, że wszechświat gra z nami w tę grę. Grę opartą na regułach matematycznych. Chciałbym wiedzieć dlaczego wszechświat jest matematyczny. Jest to dla mnie źródło niekończącego się zadziwienia.

Co to oznacza, że matematyczny opis rzeczywistości jest piękny?

Analogicznie można by też zadać pytanie: dlaczego jakaś muzyka jest piękna? Dlaczego ta piosenka wpada w ucho, a inna nie. W książce Sabine Hossenfelder stara się odpowiedzieć na to pytanie. Co odróżnia piękną teorię matematyczną, czy też fizyczną od teorii brzydkiej. I choć nie potrafi sformułować definicji to pewne cechy wymienia. Takie jak choćby oszczędność założeń. Taka struktura, która ma dużo kawałków, w której trzeba sporo, jak mówią matematycy, „włożyć ręką", będzie brzydsza od tej, która bazuje na dwóch czy czterech aksjomatach i z nich już wszystko wynika. To się wiąże też ze swego rodzaju „nieuchronnością" teorii fizycznych. Na przykład Newton gdy tworzył swoją teorię powszechnego ciążenia, to mógł równie dobrze założyć, że siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna, nie do kwadratu odległości, tylko do sześcianu, gdyby tego wymagały dane astronomiczne. Natomiast Einstein, który stworzył swoją, alternatywną wobec newtonowskiej, teorię grawitacji, już nie miał takiej swobody. Nie mógł tak sobie majstrować przy równaniach ogólnej teorii względności bez kompletnego zniszczenia całej matematycznej struktury. W związku z tym mówi się o tak zwanej „sztywności" teorii fizycznych (ang. rigidity). Teoria jest tym sztywniejsza, im mniej pola manewru pozostawia badającemu ją teoretykowi. Niejako sama mówi badaczowi, jak musi wyglądać.

Poszukujecie symetrii?

Symetria urosła od zasady czysto estetycznej, pochodzącej z architektury, sztuk wizualnych, do wręcz zasady przewodniej w niektórych teoriach fizycznych. Okazuje się, że w pojęciu symetrii, wyrażonym matematycznie, tkwi niesamowita siła, która też wiąże się ze sztywnością, o której mówiłem, z tą oszczędnością założeń. Weźmy na przykład taki wymóg, że prawo fizyczne powinno być niezależne od tego, w jakim układzie odniesienia je zapiszemy – innymi słowy, powinno być symetryczne względem przesunięć i obrotów układu odniesienia. Jest to dosyć naturalne założenie – w końcu fizyka nie powinna zależeć od tego w jaki sposób ją opisujemy. Ale okazuje się, że ten banalny fakt ma daleko idące konsekwencje – wynikają z niego zasady zachowania pędu i momentu pędu. Cała współczesna teoria cząstek elementarnych opiera się na pojęciu symetrii i matematycznych konsekwencjach z niej wynikających.

W chemii to już nie jest tak oczywiste bo przecież istnieją cząstki chiralne, które łamią symetrię.

Tak, to prawda. Ale łamanie symetrii też jest ważne w fizyce cząstek, jednak nie byłoby ono tak ważne gdyby pojęcie symetrii nie było ważne.

Julian Tuwim w Jarmarku rymów powiedział - „Symetria: estetyka idiotów". Nie traktujecie jej w ten sposób?

Fizycy na pewno jej tak nie traktują, i nie chodzi tu wyłącznie o estetykę. Oparcie fizyki fundamentalnej na pojęciu symetrii – mimo początkowych oporów środowiska fizyków – przyniosło niesamowite postępy. Nie tylko pozwoliło opisać znane cząstki, ale także przewidzieć cały szereg nowych. To właśnie z takich czysto matematycznych własności pewnej abstrakcyjnej symetrii Murray Gell-Mann i niezależnie George Zweig wydedukowali istnienie kwarków, czyli najmniejszych (jak dziś sądzimy) składników materii. Nie było tak, że wpierw zobaczono je doświadczalnie – to udało się dopiero kilkanaście lat po „dostrzeżeniu" ich w matematycznej strukturze teorii.

Ale to nie jest tak, że narzucacie naturze własne prawa?

Raczej staramy się te prawa odkryć. One tam są, a my tylko próbujemy, używając pewnych ram pojęciowych opierających się na matematyce, odkryć je i opisać. Narzucić przyrodzie niczego nie można. Nie zmuszę siłą woli czy wyobraźni filiżanki żeby się zdematerializowała lub zaczęła unosić nad ziemią. Nie zapominajmy, że koniec końców o słuszności teorii wciąż decyduje eksperyment. Natura zawsze ma w fizyce – a przynajmniej powinna mieć – ostatnie słowo.

A może wmawiacie sobie, że matematyczny opis natury jest piękny?

Trzeba by zastanowić się czym w ogóle jest piękno. Mówi się, że piękno jest w oku patrzącego i nie ma znaczenia, czy oko to jest przy tym uzbrojone teleskop, akcelerator, czy geometrię różniczkową. W historii nauki nieraz zresztą bywało, że teoria powszechnie uważana za piękną okazywała się nie mieć nic wspólnego z rzeczywistością. Na przykład na początku XVII wieku Johannes Kepler zauważył intrygującą prawidłowość w orbitach planet, których wówczas znano sześć (w tym Ziemia – Kepler był zagorzałym kopernikanistą). Mianowicie, gdy powkładał sfery odpowiadające orbitom planet w kolejne bryły platońskie, tworząc coś w rodzaju kosmiczno-geometrycznej matrioszki (idąc od zewnątrz: sfera Saturna, sześcian, sfera Jowisza, czworościan, sfera Marsa, dwunastościan, sfera Ziemi, dwudziestościan, sfera Wenus, ośmiościan, sfera Merkurego, a wreszcie wewnątrz niej Słońce) i wszystko dokładnie przeliczył, otrzymał zadziwiająco dokładną zgodność między promieniami kolejnych sfer z wynikami obserwacji astronomicznych. Oto więc najdoskonalsze pięć wielościanów okazało się kluczem do „tajemnicy kosmografii", jak zresztą Kepler nazwał swój traktat na ten temat. Jego model za jednym zamachem wyjaśniał odległości między planetami, jak również samą liczbę planet (więcej nie może ich być, bo nie istnieje więcej brył platońskich). Model ten był dla niego po prostu zbyt piękny, aby nie był prawdziwy. Niestety – a raczej na szczęście – jeszcze za jego życia dokładniejsze obserwacje obaliły jego geometryczną teorię Układu Słonecznego. Zapewne gdyby nie te nowe dane astronomiczne, Kepler dożyłby swoich lat w przekonaniu, że jego teoria jest słuszna, a była tylko i wyłącznie elegancka matematycznie.

Na ile możemy wierzyć teoriom fizycznym lub matematycznym?

W takim absolutnym sensie wierzyć im nie możemy. Siłą nauki, w tym zarówno matematyki jak i fizyki, jest otwartość na rewizje. Zawsze może pojawić się taki eksperyment, który pokaże, że dana teoria jest nie do utrzymania i wtedy trzeba szukać lepszej. Zawsze trzeba zachować odrobinę sceptycyzmu i brać pod uwagę, że wszystkie teorie jakimi dysponujemy, jak choćby teoria Newtona, która święciła triumfy przez 300 lat, mogą zostać sformułowane lepiej, albo w sposób jakiego nikt wcześniej nie dostrzegł. Do niektórych teorii możemy mieć większe zaufanie, bo wyrosły z nich całe technologie, które byłyby wcześniej całkowicie nie do pomyślenia. Dzięki teorii względności mamy na przykład GPS, który zwyczajnie by nie działał bez uwzględnienia odkryć Einsteina. To już nie jest tak jak w czasach Edisona, gdy efektywnie świecącą żarówkę można było skonstruować do pewnego stopnia metodą prób i błędów. Bez tych teorii nie mielibyśmy współczesnych urządzeń. W tym sensie możemy mieć pewność, że nawet jeśli te teorie nie są ostateczne, bo na pewno nie są, to jednak dosyć dobrze opisują rzeczywistość.

Część teorii opiera się na rachunku prawdopodobieństwa. Czy nie gubimy gdzieś dokładności naszej oceny, może to wszystko jest dużo prostsze?

Bardzo możliwe. Chociaż akurat probabilistyczność mechaniki kwantowej jest dobrym przykładem na tezę odwrotną. Gdy stawało się jasne, że mechanika kwantowa pozwala obliczać jedynie prawdopodobieństwa, było to dla wielu fizyków (na czele z Einsteinem i Schrödingerem) istnym kamieniem obrazy, czymś okropnie nieeleganckim. Ze swoją nieusuwalną przypadkowością i nieoznaczonością łamała kanony piękna, do których przyzwyczaiła wszystkich deterministyczna i „zdroworozsądkowa" fizyka klasyczna. A jednak mechanika kwantowa się przebiła, bo zwyczajnie była (i wciąż jest) niedościgniona w wyjaśnianiu funkcjonowania mikroświata. Fizycy stopniowo pogodzili się z tym, że niemożliwe jest przewidzenie przyszłych stanów układów na podstawie stanów obecnych. Czy się nam to podoba, czy nie, wydaje się, że probabilistyczność jest fundamentalną cechą przyrody.

Jak często prawa fizyki wymyśla się na papierze, aby później udowodnić je w laboratorium?

Dużo częściej niż może się wydawać. Obecnie fizyka, przynajmniej fizyka fundamentalna, jest w takim dziwnym miejscu, że wszystko co proste zostało już odkryte. Teraz jest trudniej. Trzeba projektować olbrzymie eksperymenty, w których biorą udział naukowcy z kilkudziesięciu krajów i angażują wielkie pieniądze. Taki eksperyment potrafi trwać całe życie pojedynczego człowieka, a decyzję o rozpoczęciu badania trzeba podjąć wcześniej na podstawie teorii, które wydają się prowadzić w dobrym kierunku. W tym sensie hipotetyczne, ale niejako „spodziewane" prawa fizyki znacznie wyprzedzają eksperymenty. Nadzieja, że to właściwe podejście, bierze się stąd, że bardzo często w historii nauki przewidywano nowe zjawisko na gruncie teorii. Po prostu wynikało z równań. Zdarzało się, że sam odkrywca nie wierzył w swój wynik i uważał go za artefakt matematyczny, a dopiero później inni udowadniali eksperymentalnie, że mamy do czynienia z rzeczywistym, fizycznym efektem. Weźmy fale grawitacyjne, czarne dziury, ekspansję wszechświata. Wszystkie te zjawiska wynikają z równań Einsteina, a sam Einstein w żadne z tych zjawisk początkowo nie wierzył.

Czy matematyka może istnieć bez wyobraźni?