Budowanie analogii między analogiami i korespondencji między pojęciami z odległych od siebie dziedzin to zajęcie par excellence dla matematyków. To świat, w którym algebraik porozumie się z topologiem, a łucznik i żeglarz będą mówili wspólnym językiem.
Dwie gałęzie jednego drzewa
Studenci pierwszych lat studiów matematycznych wiedzą, że wśród poważnych przedmiotów są dwa, niezwiązane ze sobą, a jedne z fundamentalnych: algebra i topologia.
Ta pierwsza zajmuje się zbiorami (nie tylko liczbowymi) i działaniami (nie tylko arytmetycznymi) na tychże zbiorach. Rozwiązywanie równań algebraicznych, ich całych układów i opisywanie własności obiektów to domena algebry. Algebra szuka wzorów i reguł, które kryją się za rachunkiem, równaniami i przekształceniami. Matematycy tworzą w niej abstrakcyjne języki opisujące zależności między elementami, które działają nie tylko dla liczb, ale też na przykład dla macierzy, funkcji czy symetrii figur.
Topologia bada obiekty w przestrzeni poddane rozciąganiom, kompresji i innym deformacjom, lecz z wyłączeniem rozcinań, przerywań i sklejeń. Obrazowo rzecz ujmując, dla topologa wszystko jest z gumy, a „takie same” są obiekty, które można przekształcić jedne na drugie z pomocą wymienionych operacji. W takim sensie kulisty pączek to taki sam obiekt jak talerz, ale zupełnie inny, niż amerykański donut; pączek z dziurką jest za to tożsamy z kubkiem (!).
Algebra i topologia na pierwszy rzut oka wydają się bardzo odległe. A jednak – jak pokazują badacze z Uniwersytetu Warszawskiego – jest coś, co, nomen omen, splata wątki z obu tych gałęzi w jedno.
Węzeł i strzała – co mają wspólnego?
Jedną z poddziedzin współczesnej algebry jest teoria reprezentacji. Przedstawia ona abstrakcyjne struktury algebraiczne jako przekształcenia przestrzeni wektorowych. W ramach tej teorii naukowcy przyglądają się grafom – zbiorom połączonych ze sobą strzałkami punktów, które literacko nazwali kołczanami.
Część topologów natomiast bada własności węzłów, splotów i supłów. Węzły to, jak podpowiada intuicja z życia codziennego, bardziej lub mniej splątane krzywe z połączonymi końcami, jak np. sznurówki butów.
Na pierwszy rzut oka te dwa światy – sieci strzałek i sploty nici – nie mają ze sobą nic wspólnego. To co je łączy, to zainteresowanie matematyków.
Zarówno kołczany jak i węzły są intensywnie badane przez matematyków na całym świecie, ale analogię między tymi obiektami zauważyli naukowcy z UW, dr hab. Piotr Kucharski i prof. Piotr Sułkowski, we współpracy z prof. Markusem Reineke z Bochum oraz prof. Marko Stošiciem z Lizbony. Zainspirowali się oni podejściem z zaawansowanej fizyki – teorią strun. Dostrzegli, że węzły i kołczany pozwalają w równoważny sposób opisać to samego zjawisko i sformułowali tzw. korespondencję węzeł-kołczan.
– Teoria węzłów i teoria reprezentacji kołczanów rozwijały się od lat całkowicie niezależnie i nikt nie spodziewał się, że są jakkolwiek związane. Jednakże, dzięki zastosowaniu podejścia opartego na teorii strun, udało nam się zauważyć, że modele fizyczne, które można przypisać do węzłów i kołczanów, są praktycznie takie same. Dzięki temu wyniki prac dotyczących kołczanów można wykorzystywać w badaniach nad węzłami (i na odwrót) – wyjaśnia dr hab. Piotr Kucharski z Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW.
Czym jest teoria strun? Zakłada ona, że najmniejsze elementy świata (np. elektrony, kwarki, fotony) nie są punktami, lecz maleńkimi strunami. W zależności od tego, jak drgają, mogą tworzyć różne cząstki i oddziaływania. W praktyce pozwala to patrzeć na materię, przestrzeń i siły, jak na różne przejawy tej samej, głębszej struktury. Idea, że różne obiekty mogą być „odmianą” jednego modelu, pozwoliła połączyć węzły i kołczany.
Okazało się, na przykład, że liczba pętli w kołczanie odpowiada stopniowi „splątania” węzła – im bardziej złożona sieć strzałek, tym bardziej zawiły splot. Kolejne analogie są coraz bardziej abstrakcyjne, ale zachowują zgodność w znalezionych parach węzeł-kołczan.
To niezwykle rzadki przypadek, gdy analogia między dwiema dziedzinami matematyki okazuje się niemal doskonała.
Mapa z posklejanych precli
Obserwacja, że zarówno węzły jak i kołczany obrazują te same modele fizyczne to nie jedyna inspiracja zaczerpnięta z nauk fizycznych. To początek. Jeśli strzałki w teorii reprezentacji kołczanów przedstawiają pewne przekształcenie, to kołczan jest zbiorem przekształceń. Naukowcy z UW poszli więc krok dalej i spróbowali opisać nie tylko pojedynczy kołczan, lecz możliwe sposoby jego przekształcania.
W języku matematyki oznacza to stworzenie „mapy” całego zbioru przekształceń.
– Wymagający wyobraźni krok polega na tym, że rozważamy mapę wszystkich możliwych transformacji związanych z danym kołczanem. Okazuje się, że taka mapa rzadko wygląda jak papierowa mapa, której używaliśmy przed smartfonami – najczęściej ma skomplikowany kształt przypominający posklejane precle. Modele fizyczne, których używamy, pozwalają opisać ten kształt – tłumaczy Piotr Kucharski.
Taka „mapa” to matematyczny krajobraz wszystkich stanów, w jakie może się przekształcić dany układ. Pofałdowana wielowymiarowa struktura pełna „dziur” i połączeń – stąd porównanie do posklejanych precli. Modele inspirowane fizyką pozwalają ten niezwykle złożony kształt nie tylko wyobrazić sobie, ale też opisać i policzyć.
Od abstrakcji do życia
Dziś odkrycie naukowców z UW wydaje się czystą teorią. A pytanie o zastosowanie interdyscyplinarnego mariażu algebry i topologii – przedwczesne; to tak, jakby pytać Einsteina o znaczenie ogólnej teorii względności dla przeciętnego Kowalskiego i oczekiwać, że opowie nam, pół wieku przed wynalezieniem, o systemie GPS, którego dziś używa każdy i to codziennie.
Historia nauki pokazuje jednak, że właśnie z takich idei często rodzą się przełomy.
Wśród możliwych zastosowań korespondencji węzeł-kołczan widać wyraźnie postęp w badaniach nad strukturą DNA, która to struktura przypomina ciasno upakowaną splątaną sznurówkę lub też lepsze zrozumienie funkcji, jaką pełni kształt cząsteczek białek. A to wszystko oznacza potencjalnie wielki postęp w medycynie i farmakologii, przede wszystkim w projektowaniu nowych leków, zwłaszcza antybiotyków i terapii przeciwnowotworowych.
Czytaj więcej na: serwisnaukowy.uw.edu.pl
dr hab. Piotr Kucharski jest absolwentem Wydziału Fizyki UW. Pracował w Szwecji, USA i Holandii, powrócił na UW jako adiunkt na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Zajmuje się topologią kwantową, aplikuje teorię strun do matematyki; czasem korzysta z metod uczenia maszynowego. Popularyzuje fizykę i matematykę m.in. w ramach Festiwalu Nauki.
prof. dr hab. Piotr Sułkowski jest fizykiem teoretycznym, kierownikiem Katedry Kwantowej Fizyki Matematycznej oraz liderem grupy badawczej na Wydziale Fizyki UW. Jego zainteresowania badawcze obejmują fizykę matematyczną, kwantową teorię pola i teorię strun, a okazjonalnie biofizykę. Prowadzi popularnonaukową inicjatywę „Zapytaj fizyka”.
Materiał Partnera